數量關系(xi)涵(han)蓋的(de)題(ti)型很(hen)(hen)廣泛，是同學們(men)(men)比(bi)較頭疼的(de)部(bu)分(fen)(fen)。考試時很(hen)(hen)有(you)(you)可能(neng)出現花了(le)時間(jian)，卻還不能(neng)得出正確(que)答(da)案的(de)情況。所以(yi)這部(bu)分(fen)(fen)一(yi)(yi)定要有(you)(you)選擇性地(di)作答(da)，同學們(men)(men)可以(yi)選取難度較低或者(zhe)比(bi)較常見的(de)一(yi)(yi)類題(ti)型，這樣才能(neng)在較短(duan)時間(jian)能(neng)盡可能(neng)多拿分(fen)(fen)。今天就(jiu)讓我們(men)(men)來了(le)解下容斥問(wen)題(ti)。

容(rong)斥問(wen)題(ti)是(shi)一種(zhong)計數問(wen)題(ti)，用于解決多個集合(he)之間有重疊時的(de)計數問(wen)題(ti)。一般涉及兩者(zhe)(zhe)(zhe)容(rong)斥和三者(zhe)(zhe)(zhe)容(rong)斥以及容(rong)斥極值問(wen)題(ti)。在(zai)作(zuo)答時可以采用畫文氏圖或者(zhe)(zhe)(zhe)結合(he)基礎公式(shi)的(de)方法(fa)。

一、兩者容斥：

注：I：全(quan)集 都不(bu)：既沒(mei)有A又沒(mei)有B

I=A∪B+都不

=A+B-A∩B+都不

二、三者容斥：

注：I：全集 都不：既沒(mei)有A又沒(mei)有B又沒(mei)有C

I=A∪B∪C+都不

=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不

=A+B+C-只屬于兩個(ge)集(ji)合的(de)元(yuan)素(su)-2×屬于三(san)個(ge)集(ji)合的(de)元(yuan)素(su)+都不

=只屬(shu)于(yu)一個(ge)集合的(de)元素+屬(shu)于(yu)兩個(ge)集合的(de)元素+屬(shu)于(yu)三(san)個(ge)集合的(de)元素+都(dou)不(bu)

三、容斥極值：

兩者容斥極值：(A∩B)min = A+B-I

三者容斥極值：(A∩B∩C)min = A+B+C-2I

以此類(lei)推……

【例1】某(mou)單位 65 名職(zhi)工中，擁(yong)有(you)(you)甲(jia)、乙、丙三(san)項(xiang)認證(zheng)中至少一項(xiang)的職(zhi)工正好占 80%，沒有(you)(you)甲(jia)認證(zheng)的職(zhi)工與有(you)(you)乙認證(zheng)的職(zhi)工人(ren)(ren)(ren)數一樣多，僅有(you)(you)丙認證(zheng)的職(zhi)工有(you)(you) 3 人(ren)(ren)(ren)，三(san)項(xiang)認證(zheng)都有(you)(you)的職(zhi)工有(you)(you) 6 人(ren)(ren)(ren)，問(wen)有(you)(you)多少人(ren)(ren)(ren)僅擁(yong)有(you)(you)甲(jia)、乙兩(liang)項(xiang)認證(zheng)?

A.10 B.13 C.16 D.19

【答案】A。

【解析】

根(gen)據題干(gan)信(xin)息(xi)，可梳(shu)理上述文氏圖。設僅(jin)(jin)有(you)(you)(you)甲(jia)、乙的(de)(de)人(ren)(ren)數為(wei)x，僅(jin)(jin)有(you)(you)(you)乙、丙的(de)(de)人(ren)(ren)數為(wei)y，僅(jin)(jin)有(you)(you)(you)乙的(de)(de)人(ren)(ren)數為(wei)z。三項(xiang)(xiang)認證(zheng)(zheng)中(zhong)至少(shao)一項(xiang)(xiang)的(de)(de)職工(gong)正好占 80%，即(ji)65·80%=52，一項(xiang)(xiang)都沒(mei)有(you)(you)(you)的(de)(de)為(wei)65·20%=13。根(gen)據“沒(mei)有(you)(you)(you)甲(jia)認證(zheng)(zheng)的(de)(de)職工(gong)與有(you)(you)(you)乙認證(zheng)(zheng)的(de)(de)職工(gong)人(ren)(ren)數一樣多”建立等量關系。沒(mei)有(you)(you)(you)甲(jia)的(de)(de)人(ren)(ren)為(wei)y+z+3+13，有(you)(you)(you)乙的(de)(de)人(ren)(ren)為(wei)x+y+z+6。y+z+3+13=x+y+z+6，解得x=10。即(ji)僅(jin)(jin)有(you)(you)(you)甲(jia)、乙的(de)(de)人(ren)(ren)數為(wei)10。故正確答(da)案為(wei)A。

【例2】某單位共有(you)(you) 240名員工,其中訂閱(yue)(yue)A期刊(kan)的(de)(de)(de)有(you)(you)125人(ren),訂閱(yue)(yue)B期刊(kan)的(de)(de)(de)有(you)(you)126人(ren),訂閱(yue)(yue) C期刊(kan)的(de)(de)(de)有(you)(you) 135 人(ren),訂閱(yue)(yue) A、B期刊(kan)的(de)(de)(de)有(you)(you) 57 人(ren),訂閱(yue)(yue) A、C期刊(kan)的(de)(de)(de)有(you)(you) 73 人(ren)，訂閱(yue)(yue)3種(zhong)(zhong)期刊(kan)的(de)(de)(de)有(you)(you) 31人(ren),此外,還(huan)有(you)(you)17人(ren)沒有(you)(you)訂閱(yue)(yue)這三種(zhong)(zhong)期刊(kan)中的(de)(de)(de)任何一種(zhong)(zhong)。問:訂閱(yue)(yue)BC 期刊(kan)的(de)(de)(de)有(you)(you)多少人(ren)?

A.57 B.64 C.69 D.78

【答案】A。

【解(jie)析(xi)】根據題(ti)干信息，可確(que)(que)定考查三者容(rong)斥(chi)。題(ti)干分別(bie)給到I：240，A：125，B：126, C：135 ，A∩B：57 ，A∩C：73 人，A∩B∩C：31，都(dou)不：17人。求B∩C。可利用公式“I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都(dou)不”求解(jie)。代入240=125+126+135-57-73-B∩C+31+17，解(jie)得(de)B∩C=64。故正確(que)(que)答(da)案為(wei)B。

容斥問題(ti)是比較簡單(dan)的一(yi)類(lei)題(ti)型，絕大部分容斥問題(ti)可(ke)以(yi)采用(yong)上(shang)述兩種方法求解。如果(guo)給出的信息較為復(fu)雜或者(zhe)不太常見，在作答(da)時可(ke)根(gen)據題(ti)干給出的條件(jian)，可(ke)結合(he)文氏(shi)圖(tu)與方程法，靈(ling)活作答(da)。

（責任編輯：李明）